Límites+(+2º+Bach+CCSS)

=Límites =

toc El concepto de límite es relativamente reciente en las matemáticas. Aparece en el siglo XIX como concepto riguroso, aunque se había estado usando anteriormente de una forma no formal. En realidad aparece al necesitar los matemáticos dar una estructura definitiva al cálculo diferencial e integral. Una primera aproximación a la formalización de la definición de límite la realiza [|Isaac Newton]. Para ello utiliza un concepto un tanto difuso, cantidad infinitesimal ( cantidad infinitamente pequeña pero que no llega a cero).El siguiente impulso en la formalización del concepto de límite lo protagoniza [|Jean le Rod D' Alembert]. Es en el siglo XIX cuando se da el paso definitivo a la formalización del concepto. En orden cronológico [|B. Bolzano], [|A.L. Cauchy] y finalmente [|K. Weierstrass] lograron afinar definitamente la definición, dejándola tal como hoy se enseña: ¡ IMPORTANTE ! trabaja los ejercicios y pregunta las dudas a tu profesor.

Ejercicios para practicar las operaciones con límites. Practica ahora el Este ejercicio te permitirá aclarar ideas:

El cálculo de límites tiene aplicaciones a la economía o a la dinámica de poblaciones, entre otros campos:

=Continuidad=

En una primera aproximación al concepto de continuidad podemos entender que una función es continua si es posible dibujar su gráfica sin levantar el bolígrafo del [|papel]. Pero durante el siglo XIX, el desarrollo de la matemática produjo la aparición de funciones cuya gráfica no podía ser dibujada de forma precisa y que presentaban la propiedad de ser continuas, por ejemplo la curva de [|Peano]. Ante esta situación se hizo necesario definir de forma precisa la continuidad de una función en un punto: Extendiendo la definición anterior podemos decir que una función es continua en un intervalo si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo. La idea intuitiva que recoge la definición de función continua es que pequeños cambios en la variable x se deben corresponder con pequeños cambios en la variable y = f ( x ). Cuando una función no es continua decimos que presenta una [|discontinuidad]. Estas discontinuidades pueden tener diferentes clasificaciones, por ejemplo : discontinuidades evitables y discontinuidades inevitables. La diferencia fundamental entre unas y otras estriba en la existencia del límite ( discontinuidad evitable) o no ( discontinuidad inevitable )

De la definición de función continua un punto podemos extraer de forma directa dos propiedades importantes: a) Si f es continua en x = a entonces existe un entorno de a con radio k, ( a - k, a + k ), donde la función f está acotada. b) Si f es continua en x = a entonces existe un entorno de a con radio k, ( a - k , a + k ) donde signo de f(x) = signo de f(a) para todo valor x de dicho entorno. Además tenemos otros teoremas importantísimos de las funciones continuas :el [|teorema de Bolzano],el [|teorema de Darboux] y el [|teorema de Weierstrass]. Una aplicación inmediata de uso frecuente en matemáticas para la resolución de ecuaciones es el [|método de bisección], basado en la aplicación iterada del teorema de Bolzano a una función continua en un intervalo.

Practica con estos [|ejercicios] la continuidad de una función en un punto. Ahora trabaja la [|continuidad de una función].

= Asíntotas =

1.- Asíntotas horizontales
La ecuación de una línea recta horizontal, en el plano, es de la forma y = a. Si para una función y = f(x) resulta que la distancia entre ella y una línea horizontal se aproxima a cero todo lo que queramos si hacemos x lo suficientemente grande, diremos que la recta y = a es una [|asíntota horizontal] de la función y = f(x). Vamos a [|visualizarlo] ( "pincha" el punto más grueso y observa cómo la distancia entre el punto y la recta y = 1 tiende hacia cero según hacemos más grande a x ). Importante: si no dispones del programa geogebra, no podrás visualizar la práctica anterior. Para obtener este programa, gratuito, utiliza este enlace La comprobación de la existencia y cálculo de la asíntota horizontal es sencillo:

2.- Asíntotas verticales
En el plano, una ecuación de la forma x = b representa una recta vertical al eje OX. Dada una función y = f(x), si al aproximar la variable x hacia el valor b, la función se dispara hacia infinito ( positivo o negativo), diremos entonces que la recta x = b es [|asíntota vertical] de la función y = f(x). En la siguiente [|presentación] mueve el punto sobre la gráfica hacia la asíntota y podrás comprobar cómo la segunda coordenada ( valor de la función se dispara. El cálculo de las asíntotas verticales es algo más complicado que el correspondiente a las asíntotas horizontales. Ahora, los valores del parámetro b no se encuentran al calcular un límite sino que deben ser buscados previamente: Como consecuencia de la definición anterior es preciso determinar los valores de b. Para ello buscamos valores de x para los cuales f(x) se dispare hacia infinito y a continuación comprobamos la definición de asíntota vertical. Analiza este [|ejemplo].