Funciones+2º+Bach+CCSS

Vamos a empezar con unas presentaciones con Geogebra de las características de las funciones.toc

Breve historia del concepto de función
Hasta el siglo XVI, los matemáticos consideraban las curvas como objetos geométricos. [|René Descartes] y [|Pierre de Fermat] dan un salto cualitativo y comienzan a asociar a las curvas sus expresiones algebraicas. Para ello hubo que desarrollar la geometría analítica. Pero estos nuevos desarrollos matemáticos no surgen de la nada. Su aparición está motivada por la necesidad de comprender mejor el estudio del movimiento. Ya en el siglo XVII se piensa en una función como una relación entre dos variables que, convenientemente interpretada, representa una curva.Durante la primera mitad del siglo XVIII,[| Leonard Euler] define en su libro " //Introductio in analysim infinitorum//" una función como una expresión algebraica formada por la cantidad variable y con números o cantidades constantes.Pero los avances en el estudio de la matemática obligan a buscar una definición de función más general y completa. Durante el siglo XIX matemáticos como [|Joseph Fourier], [|Lobachevski] o [|Peter Dirichlet] desarrollan y amplían la idea de función hasta aproximarlo a la definición moderna. Las funciones se [|aplican en númerosos ámbitos]. Son un poderoso material matemático para múltiples situaciones.

=Derivada=

Siglo XVII y XVIII: derivada

 * ~ Históricamente, los matemáticos se han mostrado muy interesados en dos problemas clásicos:el cálculo de la tangente a una curva y los extremos relativos ( máximos y mínimos) de una curva. Desde la época clásica griega ( siglo III a. C.) diversos matemáticos han dedicado sus esfuerzos a intentar resolver las dos cuestiones anteriores. Durante el siglo XVII los principales problemas que se investigaron eran de índole física: a) la velocidad y aceleración instantánea de un cuerpo,b) el cálculo de la tangente a una curva en un punto,c) los máximos y mínimos de una función y d) la distancia recorrida o el área "barrida" por un planeta.En 1638, Fermat descubre un método algebraico para cálcular los máximos y mínimos de una función algebraica simple. Para que sucediera hubo que empezar a considerar las funciones como curvas, algunas incluso introducidas por medio de movimientos, como la cicloide ( Mersenne,1615).No obstante, todavía hay matemáticos ( Torricelli, Barrow, Huygens) que tienden a tratar la derivada como un problema eminentemente geométrico.Es en el siglo siguiente, XVIII, cuando el impulso de [|Issac Newton] y [|Gottfried Leibniz] propicia el desarrollo final de la idea de derivada, dando lugar a una nueva rama de la matemática: el cálculo infinitesimal. Con ellos el cálculo se independizó del álgebra y de la geometría. Pero a pesar de la contemporaneidad de ambos matemáticos, sus resultados fueron de naturaleza muy diferente.Para Newton sus infinitesimales estaban asociados al cálculo de velocidades instantáneas y para Leibniz era necesario establecer una correlación entre sus incrementos infinitesimales y las "mónadas". ||~ [[image:Newton.PNG width="230" height="285"]] ||

Derivada de una función en un punto
A partir de la [|TASA DE VARIACIÓN MEDIA] es sencillo definir la derivada de una función en un punto, mediante un paso al límite:

De la definición de derivada se deduce inmediatamente un resulta importante: //Si una función es derivable en un punto entonces es continua en dicho punto.// El recíproco no es cierto.

Cálculo de derivadas
El cálculo de derivadas requiere calcular un límite. Si la función es sencilla el cálculo del límite es fácil, pero la mayoría de las funciones no son sencillas y por tanto el límite necesario para calcular la derivada es difícil e incluso inalcanzable. Pero la acumulación de los estudios de numerosos matemáticos durante decenas de años ha permitido elaborar unas reglas de derivación que facilitan el proceso. Con ellas ya no es necesario calcular límites. Es suficiente con aprender a aplicar correctamente estas reglas. Una buena competencia en el cálculo de derivadas implica conocer las [|reglas de derivación] y, fundamental, manejar la [|regla de la cadena].

Pratica con estos sencillos ejercicios el [|cálculo de derivadas]. Más [|ejercicios] para derivar. Estos son los [|últimos]. Practica la regla de la cadena con estos [|ejercicios]

Interpretación geométrica de la derivada


Puedes visualizar mejor el proceso con la siguiente [|práctica] de geogebra. Este resultado tiene una aplicación inmediata en la determinaciónn de la recta tangente a una función por un punto dado: //Dada la función y = f (x) y un punto de la gráfica de la función, A = (a, f (a))//, //la ecuación de la [|recta tangente] a la función en el punto A// es: //**y - f (a) = f ´(a)(x - a)**// Ahora practica con estos [|ejercicios].

Derivar correctamente es esencial. Ejercita su [|cálculo de derivadas]. Trabaja un poco el estudio de la [|derivabilidad] de funciones.

Gráficas de funciones
Practica la construcción de la gráfica de una función con estos [|ejemplos].

=Integral=

Integral indefinida
La //función primitiva o antiderivada// de una función f es una función F cuya derivada es f. Es decir : f ' = F Para que una función tenga primitiva, una condición suficiente es que sea continua. Si una función F es la primitiva de f entonces F + k (donde k es un número real cualquiera) también es primitiva de f. Por tanto, f no tiene una única primitiva sino una familia de primitiva.Por tanto podemos definir la //integral indefinida// como la familia de primitivas de una función f : El cálculo integral tiene sus precursores en epocas muy remotas, al intentar resolver problemas de áreas y volúmenes. Encontramos antecedentes en el [|papiro de Moscú] ( Egipto, 1800 a.C.). La primera vez que aparece una técnica documentada es en el siglo IV a.C. con el [|método de exhausción] de Eudoxo. Posteriormente, Arquímedes de Siracusa desarrolló el método y lo empleó en el cálculo del área de un círculo y de parábolas. Hasta el siglo XVI no hay avances. En esta época, Cavalieri ( [|método de los indivisibles]) y Fermat sientan las bases para el desarrollo definitivo del cálculo integral. En el siglo XVII, [|Barrow] y [|Torricelli] proporcionan un nuevo impulso al desarrollo del cálculo integral al mostrar los primeros indicios de la conexión entre integrales( antiderivadas) y derivadas. Finalmente, en el siglo XVIII, Newton y Leibniz formulan el [|teorema fundamental del cálculo] donde se establece de forma rigurosa la relación entre derivadas e integrales. Ya en el siglo XIX, Cauchy inicia la fundamentación rigurosa del cálculo integral. Finalmente, Riemann formaliza el concepto. La notación moderna de la integral deriva del signo usado por Leibniz en 1675 para representar la //summa//.
 * ~ Por tanto podemos definir la //integral indefinida// como la familia de primitivas de una función f : || [[image:integral_indefinida.PNG]] ||

Esta hoja contiene [|ejercicios I] básicos de primitivas e integrales indefinidas inmediatas. Practica el cálculo de integrales indefinidas con estos [|ejercicios III]. En esta [|página] encontrarás más ejercicios resueltos. Con los siguientes [|ejercicios II] practicarás un poco más la integración elemental y algunas integrales definidas.

Integral definida
Además del Teorema fundamental del Cálculo Integral, el cálculo de integrales definidas se fundamenta en la regla de Barrow:

Ahora ya podemos abordar el problema del cálculo de áreas:



Es importante resaltar que la función f(x) del dibujo es continua y positiva. Si la función no fuera positiva el proceso es algo más laborioso pues nos encontramos con zonas debajo del eje OX y la integral definida asigna a esas partes signo negativo. ¿Cómo actuaremos en ese caso?:1º.- Resolvemos la ecuación f(x) = 0, obteniendo los puntos de corte con el eje OX.2º.- Dividimos el intervalo inicial [ a,b] en tramos donde la función f(x) mantiene el signo.3º.- Calculamos el valor absoluto de la integral definida en cada tramo4º.- El área que buscamos es la suma de los valores obtenidos en el paso 3º.